Cette page contient les exposés du premier semestre 2015-2016. Liens vers les exposés des années: 00-01, 01-02, 02-03, 03-04, 04-05, 05-06, 06-07, 07-08, 08-09, 09-10, 10-11, 11-12, 12-13, 13-14, 14-15.

25 janvier 2016 : Anatole Khélif ( Equipe de Logique Mathématique, IMJ-PRG ) Elementary equivalence of cartesian powers of a same group

A question asked by Gabriel Sabbagh inspirated by a paper of de Moshe Jarden and Alexander Lubotsky is the following: if G is a countable group are G^omega and G^kappa (kappa infinite) elementarily infinitely omega equivalent as groups ? By Feferman-Vaught, we know that these two groups are elementarily equivalents. In the case where G is finite, a simple back and forth argument gives a positive answer. We study the case where G is infinite. The Cantor-Bernstein property and the notion of « weakly of countable type » will be useful for the commutative case study.

30 novembre 2015 : Christian Choffrut ( LIAFA, Université Paris 7 ) Le second ordre a-t'il besoin du premier?

L'exposé se concentrera sur une illustration d'une approche générale entreprise avec Serge Grigorieff depuis quelques années. Soit $T= ( {\mathbb{N}}, {\mathcal{P}}(\N); +, =, \in )$ la théorie monadique du second ordre des entiers avec l'addition sur les variables individuelles et les relations d'égalité de variables individuelles et d'appartenance. Nous considérons la structure $S= ( \mathcal{P}(\N); =, + )$ où $+$ est interprété comme l'addition relevée aux sous-ensembles: $X+Y=\{x+y\mid x\in X, y\in Y\}$. Cette dernière structure est-elle vraiment plus faible que la première? Les questions abordées sont: la théorie de $S$ est-elle décidable? Que peut-on dire des relations dans $\mathcal{P}(\N)$ exprimables dans $S$? Sur cette seconde question, il est surprenant de constater que contrairement à une première impression trompeuse, on peut définir de nombreuses relations. Presque toutes résultent d'une étude fine des sous-monoides de $\N$, tant il est vrai que la relation unaire la plus simple, à savoir celle définie par la condition $X+X=X$ définit exactement les sous-monoides. Mais inversement il existe des relations non définissables qui sont pourtant très proches de certaines relations définissables: par exemples ``être un semigroupe'' n'est pas définissable, alors qu'un semigroupe n'est rien d'autre qu'un sous-monoide sans $0$. On sait définir ``être un singleton'' mais pas la propriété pour un singleton d'appartenir à un sous-ensemble. Cependant on peut interpréter la théorie du second ordre de l'arithmétique dans $S$ en codant les relations ``singleton'' par certains sous-monoides et en codant l'appartenance d'un singleton à un ensemble ce qui montre que la théorie de $S$ est hautement indécidable. On connait aussi des conditions suffisantes pour qu'une relation soit exprimable dand $S$ même si une caractérisation fait défaut. Bref, qu'on se rassure, on ne peut pas se passer du premier ordre. (Résumé au format PDF.)

23 novembre 2015 : Pablo Cubides Kovacsics ( Université Lille 1 ) Quelques remarques sur la géométrie P-minimale

Moins connue et beaucoup moins développée que l'o-minimalité, la P-minimalité est une condition de minimalité analogue conçue pour les corps p-adiques et introduite par Haskell et Macpherson. Néanmoins les similarités entre le corps réel et les corps p-adiques, l'o-minimalité et la P-minimalité ont des propriétés modèles théoriques très différentes. Dans cet exposé je ferai un "état des lieux" assez informel de la théorie des corps P-minimaux. Je parlerai en particulier de dimension des ensembles définissables, d'existence de fonctions de Skolem et d'une notion dite de "minimalité relative" introduite par Cluckers et Halupczok, en rassemblant une liste de questions ouvertes sur le sujet.

9 novembre 2015 : Simon Henry (Collège de France) Des toposes aux algèbres d'opérateurs (et sur une utilisation de la logique catégorique en analyse fonctionelle)

Les toposes et les C*-algèbres sont des types d'objets à priori très différents mais qui généralisent tous deux la notion d'espace topologique, et il existe plusieurs exemples d'objets géométriques qu'on peut étudier à la fois en leur attachant une C*-algèbre ou un topos (Feuilletages, systèmes dynamiques, Graph etc). Il est donc naturel de se demander si ces objets peuvent être ou non reliés. Dans des travaux récents j'ai construit un procédé, que j'essaierai d'expliquer dans l'exposé, qui permet d'associer de façon assez général une C*-algèbre ou un algèbre de Von Neumann à des toposes raisonnables. Cette construction est basée de façon essentielle sur l'utilisation de la logique catégorique, plus précisément sur l'interprétation dans la logique interne d'un topos (i.e. dans la sémantique de Kripke-Joyal) de constructions et résultats d'analyse fonctionnelle. Il est donc essentiel pour y parvenir de démontrer ces résultats d'analyse fonctionnelle en mathématique intuitioniste, et c'est justement la logique catégorique qui, en plus de fournir la motivation, fournit les outils nécessaires pour cela. C'est sur ces aspects que l'exposé ce concentrera.

2 novembre 2015 : Christian Lair Esquisses vs. Théories du 1er Ordre

La théorie des esquisses a été fondée par Charles Ehresmann dans les années 60. Une esquisse est une présentation diagrammatique d'un "type" de structures, au moyen d'un graphe orienté muni de diverses spécifications : identités et composition "potentielles", limites et colimites "potentielles", familles monomorphes et familles épimorphes "potentielles" ! Potentialités que chaque modèle (i.e. homomorphisme de graphe orienté) doit rendre effectives dans la catégories des ensembles. Une telle présentation se veut, dans la pratique, aussi "économique" que possible, mais peut ne pas l'être ! Ainsi, par exemple, des "theories de Lawvere", des "catégories syntaxiques" ou de leurs topos classifiants, qui sont autant d'esquisses où les potentialités sont effectives, i.e. qui sont des catégories possédant des limites et des co-limites ... De fait, sachant calculer les limites projectives et les limites inductives d'ensembles, on peut mécaniquement associer à une quelconque esquisse une théorie du 1er ordre et mécaniquement associer à une quelconque théorie du 1er ordre une esquisse, étant entendu que ces deux procédures mécaniques ne sont pas réciproques l'une de l'autre. Plus particulièrement, en fonction de la forme de l'esquisse ou de la théorie du 1er ordre considérée, on peut élaborer des procédures d'association plus fines. Ainsi, par exemple, aux théories de Lawvere correspondent les théories du 1er ordre unisortes universelles-équationnelles et aux théories du 1er ordre géométriques correspondent les topos classifiants. Toute esquisse, i.e tout "graphe avec des potentialités", engendre librement un prototype, i.e. un graphe où les potentialités sont effectives, donc une catégorie où sont distinguées certaines limites, colimites ... Mieux, toute esquisse engendre librement un type, c'est-à-dire une catégorie possédant des limites et des co-limites de formes arbitrairement prescrites : il décrit donc "beaucoup" de ce qui est déductible à partir de l'esquisse ou de la théorie de départ ... Par exemple, une théorie de Lawvere n'engendrera qu'elle même en tant que "type possédant les produits finis" : c'est une manière de dire que c'est une description peu économique d'un type de structure ... De même, la catégorie syntaxique associée à une théorie géométrique a pour type (rapidement parlant) son topos classifiant Enfin, on sait caractériser intrinsèquement - i.e. en fonction de leurs propriétés "internes" - les catégories de modèles d'une quelconque esquisse, donc d'une quelconque théorie du 1er ordre : ce sont les catégories dites modelables, popularisées (!?) sous le vocable "de catégories accessibles" par M. Makkaï. Et selon la forme de l'esquisse ou de la théorie du 1er ordre considérée, des propriétés plus spécifiques de ces catégories de modèles permettent des caractérisations plus particulières. Par exemple, les catégories de modèles des théories Horn-universelles sont localement présentables au sens de Gabriel-Ulmer, i.e sont des catégories de modèles d'esquisses "sans potentialités inductives".

12 octobre 2015 : François Le Maître (Equipe d'Algèbre d'Opérateurs, IMJ-PRG, Université Paris 7) Amples génériques et groupes pleins préservant une mesure infinie

On dit qu'un groupe polonais a les amples génériques si pour tout n l'action diagonale par conjugaison de G sur G^n a une orbite comaigre. Cette propriété est apparue dans les travaux de Hodges-Hodkinson-Lascar-Shelah via l'étude des groupes d'automorphismes de structures dénombrables, l'exemple le plus simple de groupe ayant les amples génériques étant le groupe des permutations des entiers. Kechris et Rosendal ont montré que cette propriété avait des conséquences topologiques fortes : si G a les amples génériques, tout morphisme de groupe de G à valeur dans un groupe séparable est continu. Ils posent la question de l'existence de groupes polonais ayant les amples génériques mais qui ne soient pas des groupes d'automorphismes de structure dénombrable. Avec Adriane Kaïchouh, nous obtenons des exemples de groupe polonais connexes ayant les amples génériques: les groupes pleins associés à une bijection borélienne des réels préservant la mesure à orbites infinies. Nous montrons également que tout groupe polonais ayant les amples génériques se plonge dans un groupe polonais contractile ayant les amples génériques. Comme les groupes d'automorphismes de structures dénombrables sont totalement discontinus, ceci répond à la question de Kechris et Rosendal. Si le temps le permet, on verra un analogue naturel de la discontinuité totale pour lequel la question des amples génériques reste ouverte.

5 octobre 2015 : Nathanaël Mariaule (Equipe de Logique Mathématique, IMJ-PRG, Université Paris 7) Quelques remarques sur la conjecture de Schanuel p-adique

La conjecture de Schanuel est une conjecture en théorie des nombres transcendants qui détermine le degré de transcendance du corps engendré par n nombres complexes et leur exponentielles. Cette conjecture est au cœur des développements de la théorie des modèles des corps exponentiels réel et complexe. Dans cet exposé, je parlerai d'une version p-adique de cette conjecture. Celle-ci intervient également dans l'étude de l'anneau exponentiel p-adique. Je montrerai également comment à l'aide de résultat de théorie des modèles, on peut montrer une version "asymptotique" d'un cas particulier de la conjecture.

28 septembre 2015 : Manuel Bodirsky (Technische University, Dresden, Allemagne) Ramsey Classes: Examples and Constructions

The talk is about classes of relational structures that are closed under taking substructures and isomorphism, that have the joint embedding property, and that furthermore have the *Ramsey property*, a strong combinatorial property which resembles the statement of Ramsey's classic theorem. Such classes of structures have been called *Ramsey classes*. Nesetril and Roedl showed that they have the amalgamation property, and therefore each such class has a homogeneous Fraisse limit. Ramsey classes have recently attracted attention due to a surprising link with the notion of extreme amenability from topological dynamics. Other applications of Ramsey classes include reduct classification of homogeneous structures. We give a survey of the various fundamental Ramsey classes and their combinatorial proofs, and about various methods to derive new Ramsey classes from known Ramsey classes.

21 septembre 2015 : Tamara Servi (Equipe de Logique Mathématique, IMJ-PRG, Université Paris 7) Théorèmes d'élimination, préparation et intégration

Mon point de départ sera la question suivante, due à Tarski : y-a-t-il un langage “raisonnable” dans lequel la théorie du corps réel muni de la fonction exponentielle admet l'élimination des quantificateurs ? Cette question a motivé la naissance, dans les années '80, d'une nouvelle branche de la théorie des modèles : la o-minimalité. Je donnerai plusieurs réponses (certaines négatives et une positive) à cette question, en montrant le rôle des développements (anciens et plus récents) de l'étude des structures o-minimales. Pour obtenir des résultats d'élimination dans le contexte o-minimal, il est souvent nécessaire de démontrer des résultats plus forts de résolution explicite des équations (préparation). J'expliquerai cette démarche dans le cadre des ensembles définissables à partir de certaines fonctions analytiques réelles. Si le temps le permet, je montrerai des applications de résultats de préparation à l'étude de certaines intégrale oscillantes.

Exposés précédents : Années 00-01, 01-02, 02-03, 03-04, 04-05, 05-06, 06-07, 07-08, 08-09, 09-10, 10-11, 11-12, 12-13, 13-14, 14-15.

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