10 octobre : Alain LOUVEAU (Université de Paris VI)
Quotients dénombrables de structures combinatoires
Dans cet exposé, je considèrerai le problème (trop) général suivant : A quelles conditions un modèle d'une théorie T (dans un langage relationnel fini) admet-il un quotient dénombrable (resp. fini) encore modèle de T?
Dans le cas de structures combinatoires définies par une liste finie de configurations interdites, je donnerai un critère, en terme de nombres chromatiques d'hypergraphes associés.
Je présenterai quelques applications, en combinatoire finie, en
combinatoire dénombrable (à l'existence de structures dénombrables
universelles) et en théorie descriptive (à des dichotomies pour des
structures analytiques).
We study the definable power of iterated implicit definitions inside o-minimal expansions of the field of reals.
24 octobre : Andrei Gabrielov (Purdue University et IHP) Betti numbers of sets defined by formulas with quantifiers
(Joint work with N. Vorobjov and T. Zell) A spectral sequence associated with a surjective closed mapping allows one to provide upper bounds for the Betti numbers of a wide class of sets defined by formulas with quantifiers in terms of the Betti numbers of auxiliary sets defined by quantifier-free formulas. The results of Gabrielov, Vorobjov and Zell (2004) have been recently extended by T. Zell to compact-covering maps.
Lundi 14 novembre : C. A. Di Prisco, (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas) Propriétés chromatiques des ensembles boréliens
Les propriétés chromatiques du graphe défini par l'opération "shift" sur l'ensemble des ensembles infinis de nombres naturels suggèrent l'étude d'une propriété combinatoire des ensembles boréliens et sa relation avec la théorie de Ramsey.
Lundi 21 novembre : Salma Kuhlmann (University of Saskatchewan et IHP)Differential fields of kappa-bounded series
Give a chain (totally ordered seet) Γ endowed with an automorphism σ, the field of exponential-logarithmic series (with bounded support) over (Γ,σ) has a natural structure making it into a model of the o-minimal expansion Tan,exp = the theory of the reals with restricted analytic functions and exponentiation. In this talk we shall consider the problem of introducing derivation operators on these models. The aim is to present a new class of ordered differential fields, with many interesting properties.
Lundi 28 novembre : Bernhard Koenig (Paris 7) Club guessing principles on countable sets
We generalize some well-known club-guessing principles; instead of clubs of ordinals we are guessing clubs of countable sets. It turns out that these new principles have a different status than the classical ones and have different applications as well.
Lundi 5 décembre : Lou van den Dries (University of Illinois at Urbana-Champaign) A property of the Teichmuller lifting Exposé annulé
As an application of an Ax-Kochen-Ersov type result and a theorem of Mann on roots of unity we show that the Teichmuller lifting maps multiplicatively independent elements in a field of positive characteristic to algebraically independent elements of the corresponding field of Witt vectors.
Lundi 12 décembre à 14h30 : Adrien Deloro (Paris 7) Application de l'unipotence de Burdges à l'identification de PSL2
Travailler à la conjecture de Cherlin-Zil'ber sur les groupes de rang de Morley fini implique de savoir "faire apparaitre" des corps dans les groupes. La notion classique d'unipotence offre une théorie maniable, mais seulement pour les corps de caractéristique positive. Dans sa thèse de doctorat, Burdges a défini un analogue en caractéristique nulle. Cette unipotence est graduée (on est "plus ou moins" unipotent), moins puissante, mais a rencontré de nombreuses applications, notamment un résultat d'identification de PSL2.
16 janvier : Serge Randriambololona (Université de Savoie) Semi-algébricité en arité deux.
On prouve qu'il n'y a que deux expansions (o-minimales) de $(R;<)$
- qui admettent un théorème de décomposition
cellulaire
$C^{\infty}$
- dont les ensembles définissables de $R^2$ sont exactement les
sous-ensembles semi-algébriques de $R^2$.
Ces structures sont la structure triviale engendrée par les courbes
semi-algébriques et la structure de tous les ensembles semi-algébriques.
23 janvier : Arnaud Durand (Université de Paris VII) Une approche de la complexité des problèmes d'évaluation de requête
On appelle évaluation de requête le problème suivant : étant données une
structure finie S et une formule (ici du premier-ordre) avec variable
libre F(x1,...,xn), sur un certain langage, on cherche à trouver toutes
les valeurs possibles de (x1,...xn) qui rendent la formule F vraie dans
S. Une question naturelle que l'on peut se poser est : quelle est la
complexité de ce problème en fonction de contraintes sur le langage, la
formule ou la structure ?
On fera un rapide tour d'horizon des résultats du domaine (et de ce qui
les motive) puis on montrera que pour certains types de formules (dites
acycliques), on peut affiner grandement des résultats de complexité
existants par une approche logico/combinatoire se rapportant
principalement à une forme d 'élimination des quantificateurs.
Pour conclure, on dira quelques mots sur l'approche « énumérative » de
ces problèmes ainsi que sur certaines motivations personnelles en lien
avec les problèmes de spectres.
30 janvier et 31 janvier : Jonathan Kirby (Université d'Oxford) Model theory of some differential equations et Dimension theory and differential equations
In well-behaved situations, the question of whether a system of equations can be solved depends on a dimension theory. The best known examples are linear equations and polynomial equations where we have linear and algebraic dimensions.
I will show that systems of differential equations based on the exponential function, and on similar equations coming from algebraic groups, depend on a dimension theory related to both the usual algebraic and linear dimensions. Hrushovski's amalgamation technique is used, and uniform bounds arise from the model theory. There are applications to the model theory of the exponential function, and to diophantine geometry questions on the intersection of algebraic varieties with tori.
In the first talk (Seminaire General, 30/01/06) I will give some background and an outline of the main results, with some ideas of the proofs. In the second talk (DDG, 31/01/06) I will recap the main results and give more details of the proofs and of the applications.
James Ax proved a differential field version of Schanuel's conjecture about the exponential function. This gives a necessary condition for certain systems of differential equations to have a solution. I extend this theorem to differential equations arising from semiabelian varieties, and also give a matching sufficient condition. Together these give precise conditions for when a system of equations has a solution, depending on a dimension theory. Model theoretic considerations lead to a finiteness result about subgroups of semiabelian varieties: a function field version of the "Conjecture on the Intersection of Tori". These topics will be discussed in the second talk.
Lundi 6 février : Christophe Chalons (Université Paris 7) La correspondance de Curry Howard vue de l'extérieur
Je vais essayer de faire un petit pot pourri avec morceaux choisis pour leur côté frappant de ce qu'apporte la correspondance de Curry Howard. En particulier je piquerai à JLKrivine son idée pour l'axiome du choix et à Griffith son idée pour le tiers exclus, et à Girard sa mise en évidence de l'aspect vraiment à part de l'autorisation qu'on se donne d'utiliser plusieurs fois les hypothèses sans les re supposer. D'une maniere générale, il semble exister une correspondance pas seulement entre preuves et programmes informatiques mais aussi une correspondance entre preuves et programmes (tout court) c'est a dire plans d'actions, ruses (abstraites, portables et réutilisables), etc. En principe tout le monde peut comprendre ce que je vais dire, pas de prérequis (autre que connaissance et habitude des arbres)
13 février Janos Makowski (Israel Institute of Technology) Logical aspects of graph polynomials
Logical aspects of graph polynomials. We discuss graph polynomials from a logical point of view. We introduce the class of graph polynomials which are definable in second order logic and some of its fragments and outline a complexity theory for their computability. We also relate them to polynomials which occur in B. Zilber's characterization of totally categorical first order theories.
27 février : J. Burdges (Lyon I) Involutions in linear groups of finite Morley rank
The Algebraicity Conjecture (Cherlin-Zilber) for simple groups of finite Morley rank has one especially embarrassingly unsolved special case: A simple subgroup of GLn over a field k of finite Morley rank and characteristic zero should be algebraic. Poizat has proven this in characteristic p>0. In characteristic zero, such groups vaguely resemble bad groups since all elements are semisimple. We push this analogy to the elimination of involutions nonalgebraic simple linear groups of finite Morley rank, and discuss the consequences.
6 mars : Je présenterai une nouvelle notion de minimalité, nommée b-minimalité, qui
généralise o-minimalité et v-minimalité. Cette notion est basée sur des
boules et des points, où certaines unions infinies des boules et des points
sont admises dans des structures b-minimales. La b-minimalité est
construite pour avoir une décomposition cellullaire et une théorie de
dimension pour les ensemble définissables. Les exemples sont
abondants : le
corps réel avec un prédicat pour toutes les puissances entières de 2 (qui
n'est pas o-minimal), chaque corps valué Hensélien de caractéristic 0,
même avec des sections, etc. La plupart des structures connues qui sont
C-minimales ou p-minimales sont également b-minimales.
13 mars : Matteo Viale (Paris 7) The effects of forcing axioms and large
cardinals on cardinal arithmetic.
I will briefly introduce the concept of forcing axiom and I will make a
short survey of the effects on cardinal arithmetic of these type of axioms
with a particular emphasys on my recent result that the Proper Forcing
Axiom entails the Singular Cardinal Hypothesis.
20 mars : Martin Hils (Humboldt-Universität zu
Berlin) Amalgames de Hrushovski et automorphismes génériques
On donne un cadre abstrait dans lequel on peut formuler un critère
suffisant pour l'axiomatisabilité de l'automorphisme générique. Ce critère
s'applique notamment
à des structures obtenues par la méthode d'amalgamation de Hrushovski,
par exemple la fusion (generalisée) ou les corps bicolores de Poizat (en
noir, rouge,
et meme en vert si la caractéristique est 0).
Dans le cas des amalgames non-collapsés, cela fournit de nouvelles théories
de rang infini dans lesquelles on sait axiomatiser l'automorphisme
générique.
3 avril : Amador Martin-Pizarro (Lyon
I) Trois Couleurs : Vert (finalement!)
Dans ce séminaire, je présenterai un travail
réalisé conjointement avec A. Baudisch, M. Hils et
F. Wagner.
24 avril et mardi 2 mai : Jean-Louis Krivine (Paris
7)Réalisabilité en logique
classique : une extension du forcing
15 mai : Lionel Nguyen Van Thé
(Paris 7) Espaces métriques et
théorie de Ramsey
Le but de cet exposé est tout d'abord de présenter quelques propriétés
combinatoires (de type Ramsey) de certaines classes d'espaces métriques
finis, puis de montrer comment ces propriétés permettent de mieux
comprendre la géométrie de certains espaces métriques homogènes
remarquables. Une attention particulière sera portée aux classes des
espaces métriques et ultramétriques finis, à l'espace d'Urysohn, et à
l'espace de Baire.
Jeudi 8 juin à 10 h 15, salle 0C2 :
Thomas Scanlon (U. California, Berkeley) Pop's conjecture
on finitely generated fields
We prove Pop's conjecture that two finitely generated fields are
elementarily equivalent just in case they are isomorphic by showing that
infinite finitely generated fields are bi-interpretable with the ring of
integers.
12 juin : Alejandro Petrovich (Universidad de Buenos Aires) A topological
representation for a class of partially ordered groups
We develop a Priestley-type topological representation for the class of
partially ordered groups which are p.o. subgroups of lattice-ordered groups.
The appropiate analog of the spectrum of prime lattice filters is introduced
for this class. In developing this representation we give new embedding
theorems for these groups. In particular, we give a necessary and sufficient
condition for a p.o. group in this class to be embedded in an l-group of sets
in such a way that the embedding preserves the meets and joins that already
exist in the group.
19 juin :
I will discuss Pontryagin type dualities for classes of structures generated
by fixed finite objects. These dualities (called
`natural') have been studied by Clark, Davey and others. It turns out that in
order to find a natural duality, it suffices to check
finite objects only, deducing a duality between discrete and compact
structures. In particular, a natural duality is always symmetric.
For example, bounded distributive lattices are dual to compact totally
disconnected posets (Priestley duality) but also partially ordered sets are
dual to compact totally disconnected bounded distributive lattices. I would
also like to present a specific duality between the class of
ordered sets with an additional `disjointness' relation and the class of
`pointed median algebras'. It turns out that many interesting examples of
compact 0-dimensional spaces carry a natural structure of a pointed median
algebra and one can get useful information by looking at their dual
structures.
26 juin : E. Schimmerling (Carnegie
Mellon) Grands
cardinaux et modèles canoniques
The talk will be an introduction to large cardinals for logicians who
are not necessarily set theorists.
Dans une deuxième étape de l'étude des structures b-minimales, on veut
comprendre l'anneau de Grothendieck des définissables dans la sorte
principale relativement à des sortes auxiliaires et développer une théorie
d'intégration motivique sur les corps valués qui sont b-minimaux, ou
d'intégration p-adique sur des corps p-adiques b-minimaux.
En utilisant des résultats d'algèbre différentielle
dûs à Ax-Zilber-Poizat nous discuterons de la chute des
verts et de la raison pour laquelle il y a un nombre fini de nombres
premiers de la forme $\frac{0^n-1}{0-1}$.
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